EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE

EXERCICE 10

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\(a)\: \frac{3}{x+2}-\frac{2}{x}=\frac{x-4}{x^{2}+2x}\)
\(b)\: \frac{3x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}=3+\frac{2}{x+1}-\frac{5}{x-1}\)
\(c) \: \frac{1}{x-3}-\frac{x+4}{2x-6}=\frac{-1}{2}\)

Résolution

\(a) \: Condition\: préalable : x+2\neq 0 \: et \: x\neq 0 \: et\: x^{2}+2x\neq 0\)
\(\Leftrightarrow x\neq -2 \: et\: x\neq 0 \; et\; x(x+2)\neq 0\)
\(\Leftrightarrow x\neq -2 \; et\; x\neq 0\)
\( \frac{3}{x+2}-\frac{2}{x}=\frac{x-4}{x^{2}+2x}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{x+2}-\frac{2}{x}=\frac{x-4}{x(x+2)}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3x-2(x+2)}{x(x+2)} =\frac{x-4}{(x(x+2)}\)
\(\Leftrightarrow 3x-2x-4=x-4\)
\(\Leftrightarrow 3x-2x-x=-4+4\)
\(\Leftrightarrow 0x=0\)
L’équation est indéterminée.
\(S=\mathbb{R}-\{0; -2\}\)
\(b)\: \frac{3x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}=3+\frac{2}{x+1}-\frac{5}{x-1}\)
\(Condition \; préalable :\; x^{2}-1\neq 0 \; et\; x+1\neq 0 \; et\; x-1\neq 0\)
\(\Leftrightarrow x\neq 1 \; et\; x\neq -1\)
Résolvons l’équation :
\(\frac{3x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}=3+\frac{2}{x+1}-\frac{5}{x-1}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}=\frac{3(x^2-1)+2(x-1)-5(x+1)}{x^{2}-1}\)
\(\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=3x^{2}-3+2x-2-5x-5\)
\(\Leftrightarrow 3x^{2}-3x^{2}-3x-2x+5x=-2-5-1 \)
\(\Leftrightarrow (3-3)x^{2}+(-3-2+5)x=-8\)
\(\Leftrightarrow 0x=-8\)
L’équation est impossible
\(S=\varnothing\)
\(c) \: \frac{1}{x-3}-\frac{x+4}{2x-6}=\frac{-1}{2}\)
\(Condition\; préalable :\; x-3\neq 0 \; et\; 2x-6\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 3 \; et\; 2x\neq 6\)
\(\Leftrightarrow x\neq 3 \: et: \ x\neq \frac{6}{2}\)
\(\Leftrightarrow x\neq 3\)
\(\frac{1}{x-3}-\frac{x+4}{2x-6}=\frac{-1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x-3}-\frac{x+4}{2(x-3)} =\frac{-1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2\times 1-(x+4)}{2(x-3)} =\frac{-1(x-3)}{2(x-3)}\)
\(\Leftrightarrow 2-x-4=-x+3\)
\(\Leftrightarrow -x+x=3-2+4\)
\(\Leftrightarrow 0x=5\)
L’équation est impossible
\(S=\varnothing\)

EXERCICE 11

Résoudre dans R les équations suivantes :
\(a)\: \frac{2}{3x-1}-\frac{3x}{3x+1}=\frac{4}{9x^{2}-1}-1\)
\(b)\: \frac{5}{3x-2}-\frac{6x}{3x+2}+2=\frac{10}{4-9x^{2}}\)
\(c)\: \frac{2}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+1}=\frac{4}{x^{4}-1}\)

Résolution

\(a)\; Condition\; préalable :\; 3x-1\neq 0 \; et\; 3x+1\neq 0 \; et\; 9x^{2}-1\neq 0\)
\(\Leftrightarrow 3x\neq 1 \; et\; 3x\neq -1\)
\(\Leftrightarrow x\neq \frac{1}{3} \; et\; x\neq \frac{-1}{3}\)
\(\frac{2}{3x-1}-\frac{3x}{3x+1}=\frac{4}{9x^{2}-1}-1\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(3x+1)-3x(3x-1)}{9x^{2}-1}=\frac{4-1(9x^{2}-1)}{9x^{2}-1}\)
\(\Leftrightarrow 6x+2-9x^{2}+3x=4-9x^{2}+1\)
\(\Leftrightarrow -9x^{2}+9x^{2}+6x+3x=4+1-2\)
\(\Leftrightarrow 9x=1\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{9}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{9} \; A\; rejeter\)
\(S=\varnothing\)
\(b)\: Condition \; préalable :\: 3x+2\neq 0 \: et \: 3x-2\neq 0 \: et\: 4-9x^{2}\neq 0\)
\(\Leftrightarrow 3x\neq -2 \: ou\: 3x\neq 2\)
\(\Leftrightarrow x\neq \frac{-2}{3} \: et\: x\neq \frac{2}{3}\)
\(\frac{5}{3x-2}-\frac{6x}{3x+2}+2=\frac{10}{4-9x^{2}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{5}{3x-2}-\frac{6x}{3x+2}+2=\frac{10}{-(9x^2-4)}\)
\(\Leftrightarrow \frac{5(3x+2)-6x(3x-2)+2(9x^2-4)}{9x^{2}-4}=\frac{-10}{9x^{2}-4}\)
\(\Leftrightarrow 15x+10-18x^{2}+12x+18x^{2}-8=-10\)
\(\Leftrightarrow -18x^{2}+18x^{2}+15x+12x=-10+8-10\)
\(\Leftrightarrow 27x=-12\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-12}{27}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-4}{9}\)
\(S=\{\frac{-4}{9}\}\)
\(c)\: \frac{2}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+1}=\frac{4}{x^{4}-1}\)
\(Condition\: préalable : \: x^{2}-1\neq 0 \: et\: x^{2}+1\neq 0\)
\(\Leftrightarrow x\neq 1 \: et\: x\neq -1\)
\(\frac{2}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+1}=\frac{4}{x^{4}-1}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(x^2+1)-2(x^2-1)}{x^{4}-1}=\frac{4}{x^{4}-1}\)
\(\Leftrightarrow 2x^{2}+2-2x^{2}+2=4\)
\(\Leftrightarrow 2x^{2}-2x^{2}=4-2-2\)
\(\Leftrightarrow 0x=0\)
L’équation est indéterminée.
\(S=\mathbb{R}\)

EXERCICE 12

Résoudre dans R les équations suivantes :
\(a) |2x-1|=5\)
\(b) |x-1|=\frac{x-5}{3}\)

Résolution

\(a)|2x-1|= \left\{ \begin{array}{r c l} 2x-1 \ si\ 2x-1\geq 0\\ -(2x-1) \ si\ 2x-1\leq 0 \end{array} \right. \)
\(|2x-1|= \left\{ \begin{array}{r c l} 2x-1 \ si\ 2x\geq 1\\ -(2x-1) \ si\ 2x\leq 1 \end{array} \right. \)
\(|2x-1|= \left\{ \begin{array}{r c l} 2x-1 \ si\ x\geq \frac{1}{2}\\ 1-2x \ si\ x\leq \frac{1}{2} \end{array} \right. \)
Equations du premier degré

\(Dans\: ]-\infty; \frac{1}{2}] \: 1-2x=5\)
\(\Leftrightarrow -2x=5-1\)
\(\Leftrightarrow -2x=4\)
\(\Leftrightarrow -x=\frac{4}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=2 \: à \: rejeter \: car\: 2\notin ]-\infty; \frac{1}{2}]\)
\(S_{1}=\varnothing\)
\(Dans\: [1/2; +\infty[\; : \; 2x-1=5\)
\(\Leftrightarrow 2x=5+1\)
\(\Leftrightarrow 2x=6\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{6}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=3\)
\(S_{2}=\{3\}\)
\(S=S_{1}\cup S_{2}\)
\(S=\{3\}\)

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