EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE

EXERCICE 5

Soient l’équation : $(2m-3)(x-2)=(3x-4)+2m$ Déterminer la valeur de m pour que cette équation ait pour solution -1

Résolution

$(2m-3)(x-2)=(3x-4)+2m$
$\Leftrightarrow 2mx-4m-3x+6=3x-4+2m$
$\Leftrightarrow 2mx-3x-3x=-4+2m+4m-6$
$\Leftrightarrow (2m-3-3)x=6m-10$
$\Leftrightarrow (2m-6)x=6m-10$
$\Leftrightarrow x=\frac{6m-10}{2m-6}\: (1)$
$or\; x=-1 \: (2)$
(2) = (1)
$\frac{6m-10}{2m-6}=-1$
$\Leftrightarrow 6m-10=-1(2m-6)$
$\Leftrightarrow 6m-10=-2m+6$
$\Leftrightarrow 6m+2m=6+10$
$\Leftrightarrow 8m=16$
$\Leftrightarrow m=\frac{16}{8}$
$\Leftrightarrow m=2$

EXERCICE 6

Résoudre dans $\mathbb{ R }$les équations suivantes :
$a) (x-4)^2+(4-x)(1-2x)=0$
$b) x(x-1)(x-2)-3x(x-1)(3-2x)=0$
$c) (4x-3)(x+2)=(4+2x)(1-x)+5x(2+x)$
$d) (x-1)+(x-1)^{2}=0$

Résolution

$a) (x-4)^2+(4-x)(1-2x)=0$
$$\Leftrightarrow (x-4)(x-4)+(4-x)(1-2x)=0$
$\Leftrightarrow -(4-x)(x-4)+(4-x)(1-2x)=0$
$\Leftrightarrow (4-x)[-(x-4)+(1-2x)]$
$\Leftrightarrow (4-x)(-x+4+1-2x)=0$
$\Leftrightarrow (4-x)(-3x+5)=0$
$\Leftrightarrow 4-x=0 \; ou\; -3x+5=0$
$\Leftrightarrow x=4 \; ou\; x=\frac{5}{3}$
$S=\{{\frac{5}{3};4}\}$
$b) x(x-1)(x-2)-3x(x-1)(3-2x)=0$
$\Leftrightarrow x(x-1)[(x-2)-3(3-2x)]=0$
$\Leftrightarrow x(x-1)(x-2-9+6x)=0$
$\Leftrightarrow x(x-1)(7x-11)=0$
$\Leftrightarrow x=0 \quad ou \quad x-1=0 \quad ou \quad 7x-11=0$
$\Leftrightarrow x=0 \quad ou \quad x=1 \quad ou \quad 7x=11$
$\Leftrightarrow x=0 \quad ou\quad x=1 \quad ou \quad x=\frac{11}{7}$
$S=\{0;1; \frac{11}{7}\}$
$c) (4x-3)(x+2)=(4+2x)(1-x)+5x(2+x)$
$\Leftrightarrow (4x-3)(x+2)-(4+2x)(1-x)-5x(2+x)=0$
$\Leftrightarrow (4x-3)(2+x)-2(2+x)(1-x)-5x(2+x)=0$
$\Leftrightarrow (2+x)[(4x-3)-2(1-x)-5x]=0$
$\Leftrightarrow (2+x)(4x-3-2+2x-5x)=0$
$\Leftrightarrow (2+x)(x-5)=0$
$\Leftrightarrow 2+x=0 \; ou\; x-5=0$
$\Leftrightarrow x=-2 \; ou\; x=5$
$S=\{-2;5\}$
$d) (x-1)+(x-1)^{2}=0$ $\Leftrightarrow (x-1)+(x-1)(x-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)[1+(x-1)]=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(1+x-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)x=0$
$\Leftrightarrow x-1=0 \; ou\; x=0$
$\Leftrightarrow x=1 \; ou\; x=0$
$S=\{0;1\}$

EXERCICE 7

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$a)\; x^{3}+2x^{2}-x-2=0$
$b)\; (x-5)^{2}=x^2-10x$
$c)\; (4x+16)-(x+4)^{2}=4(2x+8)$

Résolution

$a) \; x^{3}+2x^{2}-x-2=0$
$\Leftrightarrow (x^{3}+2x^{2} )-(x+2)=0$
$\Leftrightarrow x^{2} (x+2)-(x+2)=0$
$\Leftrightarrow (x+2)[x^{2}-1]$
$\Leftrightarrow (x+2)(x+1)(x-1)=0 \: car a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
$\Leftrightarrow x+2=0 \; ou\; x+1=0 \; ou\; x-1=0$
$\Leftrightarrow x=-2 \; ou\; x=-1 \; ou\; x=1$
$b)\; (x-5)^{2}=x^2-10x$
$\Leftrightarrow x^{2}-2\times x\times 5+5^{2}=x^{2}-10x \: car (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$\Leftrightarrow x^{2}-10x+25=x^{2}-10x$
$\Leftrightarrow x^{2}-10x-x^{2}+10x=-25$
$\Leftrightarrow 0x=-25$
L’équation est impossible
$S=\varnothing$
$c)\; (4x+16)-(x+4)^{2}=4(2x+8)$
$\Leftrightarrow (4x+16)-(x+4)^{2}-4(2x+8)=0$
$\Leftrightarrow 4(x+4)-(x+4)(x+4)-4\times 2(x+4)=0$
$\Leftrightarrow (x+4)[4-(x+4)-8]=0$
$\Leftrightarrow (x+4)(4-x-4-8)=0$
$\Leftrightarrow (x+4)(-x-8)=0$
$\Leftrightarrow x+4=0 \; ou\; -x-8=0$
$\Leftrightarrow x=4 \; ou\; -x=8$
$\Leftrightarrow x=4 \; ou\; x=-8$
$S=\{-8;4\}$

EXERCICE 8

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$a)\; \frac{x+2}{x+1}=\frac{5x}{x+2}-4$
$b)\; \frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x+1}=\frac{2}{x^{2}-1}$

Résolution

$a)\; \frac{x+2}{x+1}=\frac{5x}{x+2}-4$
$Condition \: préalable :\: x+1\neq 0 \; et\; x+2\neq 0$
$\Leftrightarrow x\neq -1 \; et\; x\neq-2$
$\frac{x+2}{x+1}=\frac{5x}{x+2}-4$
$\Leftrightarrow \frac{(x+2)(x+2)}{(x+1)(x+2)} =\frac{(x+1)5x-4(x+1)(x+2)}{((x+1)(x+2)}$
$\Leftrightarrow (x+2)(x+2)=(x+1)5x-4(x+1)(x+2)$
$\Leftrightarrow (x+2)(x+2)-5x(x+1)+4(x+1)(x+2)=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+2x+2x+4-5x^{2}-5x+4(x^{2}+2x+x+2)=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+2x+2x+4-5x^{2}-5x+4x^{2}+8x+4x+8=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-5x^{2}+4x^{2} )+(2x+2x-5x+4x+8x)+4+8=0$
$\Leftrightarrow 11x+12=0$
$\Leftrightarrow 11x=-12$
$\Leftrightarrow x=\frac{-12}{11}$
$S=\{\frac{-12}{11}\}$
$b)\; \frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x+1}=\frac{2}{x^{2}-1}$
$Condition \: préalable : x-1\neq 0 \; et\; x+1\neq 0 \; et\; x^{2}-1\neq 0$
$\Leftrightarrow x\neq 1 \; et\; x\neq -1$
Résolvons maintenant l’équation :
$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^{2}-1}$
$\Leftrightarrow \frac{(x+1)+(x-1)}{x^{2}-1}=\frac{2}{x^{2}-1}$
$\Leftrightarrow (x+1)+(x-1)=2$
$\Leftrightarrow x+1+x-1=2$
$\Leftrightarrow 2x=2$
$\Leftrightarrow x=\frac{2}{2}$
$\Leftrightarrow x=1 \: À \: rejeter$
$S=\varnothing$

EXERCICE 9

Résoudre dans R les équations suivantes :
$a)\: \frac{2}{1-x}-\frac{3}{1+x}=\frac{2+x}{1-x^{2}}$
$b)\: \frac{x^{2}}{x-1}-1=\frac{1}{x-1}$
$c)\: \frac{1}{1+\frac{1}{x}}=2$

Résolution

$a) \: Condition \; préalable : 1-x\neq 0 \; et\; 1+x\neq 0 \; et\; 1-x^{2}\neq 0$
$\Leftrightarrow x\neq 1 \: et \: x\neq -1$
$\frac{2}{1-x}-\frac{3}{1+x}=\frac{2+x}{1-x^{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{2(1+x)-3(1-x)}{1-x^{2}}=\frac{2+x}{1-x^{2}} $
$\Leftrightarrow 2(1+x)-3(1-x)=2+x$
$\Leftrightarrow 2+2x-3+3x=2+x$
$\Leftrightarrow 2x+3x-x=2-2+3$
$\Leftrightarrow 4x=3$
$\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}$ $S=\{\frac{3}{4}\}$
$b) \: Condition\: préalable :\: x-1\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 1$
$ \frac{x^{2}}{x-1}-1=\frac{1}{x-1}$
$\Leftrightarrow \frac{x^2-(x-1)}{x-1}=\frac{1}{x-1}$
$\Leftrightarrow x^{2}-x+1=1$
$\Leftrightarrow x^{2}-x=1-1$
$\Leftrightarrow x^{2}-x=0$
$\Leftrightarrow x(x-1)=0$
$\Leftrightarrow x=0 \: ou\: x-1=0$
$\Leftrightarrow x=0 \: ou\: x=1 \: (à \: rejeter)$
$S=\{0\}$
$c)\: \frac{1}{1+\frac{1}{x}}=2$
$Condition\: préalable :\: 1+\frac{1}{x}\neq 0 \: et\: x\neq 0 \Leftrightarrow \frac{x+1}{x}\neq 0 \: et\: x\neq 0$
$\Leftrightarrow x+1\neq 0 \; et\; x\neq 0$
$\Leftrightarrow x≠-1 et x≠0$
Résolvons l’équation :
$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=2$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\frac{x+1}{x}}=2$
$\Leftrightarrow \frac{x}{x+1}=2$
$\Leftrightarrow \frac{x}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}$
$\Leftrightarrow x=2(x+1)$
$\Leftrightarrow x=2x+2$
$\Leftrightarrow x-2x=2$
$\Leftrightarrow -x=2$
$\Leftrightarrow x=-2$
$S=\{-2\}$

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