EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE

IV. EXERCICES RESOLUS

EXERCICE 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\(a) 3-7x-(1-x)=2(x+1)\)
\(b) 6x-(3-7x)-10(x+1)=3(x-3)-4\)
\(c) 4x+2-(3x-8)=11+x\)
\(d) \frac{x-1}{2}-\frac{x-3}{2}=1\)
\(e) \frac{x+3}{3}-\frac{2x-1}{4}=\frac{3}{2}\)

Résolution

\(a) 3-7x-(1-x)=2(x+1)\)
\(\Leftrightarrow 3-7x-1+x=2x+2\)
\(\Leftrightarrow 7x+x-2x=2-3+1\)
\(\Leftrightarrow (7+1-2)x=0\)
\(\Leftrightarrow 6x=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{0}{6}\)
\(S=\{0 \}\)

\(b) 6x-(3-7x)-10(x+1)=3(x-3)-4\)
\(\Leftrightarrow 6x-3+7x-10x-10=3x-9-4\)
\(\Leftrightarrow 6x+7x-10x-3x=-9-4+3+10\)
\(\Leftrightarrow (6+7-10-3)x=0\)
\(\Leftrightarrow 0x=0\)
L’équation est indéterminée
\(S=\mathbb {R}\)

\(c) 4x+2-(3x-8)=11+x\)
\(\Leftrightarrow 4x+2-3x+8=11+x\)
\(\Leftrightarrow 4x-3x-x=11-8-2\)
\(\Leftrightarrow (4-3-1)x=1\)
\(\Leftrightarrow 0x=1\)
L’équation est impossible
\(S=\varnothing\)
\(d) \frac{x-1}{2}-\frac{x-3}{2}=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-1-(x-3)}{2}=\frac{ 2}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-1-x+3}{2}=\frac{ 2}{2}\)
\(\Leftrightarrow x-1-x+3=2\)
\(\Leftrightarrow x-x=2+1-3\)
\(\Leftrightarrow 0x=0\)
L’équation est indéterminée
\(S=\mathbb R\)
\(e) \frac{x+3}{3}-\frac{2x-1}{4}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac {4(x+3)-3(2x-1)}{12}=\frac{6\times 3}{12}\)
\(\Leftrightarrow 4(x+3)-3(2x-1)=18\)
\(\Leftrightarrow 4x+12-6x+3=18\)
\(\Leftrightarrow 4x-6x=18-12-3\)
\(\Leftrightarrow -2x=3\)
\(\Leftrightarrow -x=\frac{3}{2}\)
\(S=\{\frac{-3}{2}\}\)

EXERCICE 2

Résoudre dans R les équations suivantes :
\(a) 3(x-2)-(3x-2)=8-4x\)
\(b) \frac{x-1}{2}-\frac{x-3}{2}=2\)
\(c) \frac{x+1}{3}-\frac{2x}{5}=\frac{1}{15}-\frac{7x}{5}\)
\(d) \frac{11-x}{84}+\frac{x-5}{4}-\frac{2x-1}{12}+\frac{7}{3}=0\)
\(e) \frac{x}{3}-\frac{2x-1}{4}+2=\frac{x+3}{6}\)
\(f) \frac{2x+2}{5}+\frac{2}{3}=2(x-1)+4x\)

Résolution

\(a) 3(x-2)-(3x-2)=8-4x\)
\(\Leftrightarrow 3x-6-3x+2=8-4x\)
\(\Leftrightarrow 3x-3x+4x=8+6-2\)
\(\Leftrightarrow 4x=12\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{12}{4}\)
\(S=\{3 \}\)
\(b) \frac{x-1}{2}-\frac{x-3}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-1-(x-3)}{2}=\frac{4}{2}\)
\(\Leftrightarrow x-1-x+3=4\)
\(\Leftrightarrow x-x=4+1-3\)
\(\Leftrightarrow 0x=2\)
L’équation est impossible
\(S=\varnothing\)
\(c) \frac{x+1}{3}-\frac{2x}{5}=\frac{1}{15}-\frac{7x}{5}\)
\(\Leftrightarrow \frac{5(x+1)-3(2x)}{15}=\frac{1-3(7x)}{15}\)
\(\Leftrightarrow 5(x+1)-3(2x)=1-3(7x)\)
\(\Leftrightarrow 5x+5-6x=1-21x\)
\(\Leftrightarrow 5x-6x+21x=1-5\)
\(\Leftrightarrow (5-6+21)x=-4\)
\(\Leftrightarrow 20x=-4\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-4}{20}\)
\(S=\{\frac{-1}{5}\}\)
\(d) \frac{11-x}{84}+\frac{x-5}{4}-\frac{2x-1}{12}+\frac{7}{3}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{11-x+21(x-5)-7(2x-1)+28\times 7}{84}=0\)
\(\Leftrightarrow 11-x+21(x-5)-7(2x-1)+28\times 7=0\)
\(\Leftrightarrow 11-x+21x-105-14x+7+196=0\)
\(\Leftrightarrow (-1+21-14)x+(11-105+7+196)=0\)
\(\Leftrightarrow 6x+109=0\)
\(\Leftrightarrow 6x=-109\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-109}{6}\)
\(S=\{\frac{-109}{6}\}\)
\(e) \frac{x}{3}-\frac{2x-1}{4}+2=\frac{x+3}{6}\)
\(\Leftrightarrow \frac{4x-3(2x-1)+12\times 2}{12}=\frac{2(x+3)}{12}\)
\(\Leftrightarrow 4x-3(2x-1)+12×2=2(x+3)\)
\(\Leftrightarrow 4x-6x+3+24=2x+6\)
\(\Leftrightarrow 4x-6x-2x=6-3-24\)
\(\Leftrightarrow (4-6-2)x=-21\)
\(\Leftrightarrow -4x=-21\)
\(\Leftrightarrow -x=\frac{-21}{4}\)
\(S=\{\frac{-21}{4}\}\)
\(f) \frac{2x+2}{5}+\frac{2}{3}=2(x-1)+4x\)
\(\Leftrightarrow \frac{3(2x+2)+5×\times 2}{15}=\frac{15\times 2(x-1)+15\times 4x}{15}\)
\(\Leftrightarrow 3(2x+2)+5\times 2=15\times 2(x-1)+15\times 4x\)
\(\Leftrightarrow 6x+6+10=30x-30+60x\)
\(\Leftrightarrow 6x-30x-60x=-30-6-10\)
\(\Leftrightarrow (6-30-60)x=-46\)
\(\Leftrightarrow -84x=-46\)
\(\Leftrightarrow -x=\frac{46}{84}\)
\(\Leftrightarrow -x=\frac{23}{42}\)
\(S=\{\frac{23}{42}\}\)

EXERCICE 3

Résoudre dans R les équations suivantes :

\(a)\; \frac{x+3}{2}-\frac{x+5}{6}=\frac{x-1}{3}+1\)
\(b)\; \frac{x}{2}+\frac{2x+3}{12}-2=2(x-1)\)
\(c)\; \frac{x}{2}+11-\frac{2x}{3}-4=\frac{x}{4}+25-\frac{5x}{12}\)
\(d)\; \frac{9x+7}{2}-(x-\frac{x-2}{7})=3\)
\(e)\; \frac{2x-1}{3}=x-\frac{1-x}{2}\)

Résolution

\(a)\; \frac{x+3}{2}-\frac{x+5}{6}=\frac{x-1}{3}+1\)
\(\Leftrightarrow \frac{9(x+3)-3(x+5)}{18}=\frac{6(x-1)+18\times 1}{18}\)
\(\Leftrightarrow 9(x+3)-3(x+5)=6(x-1)+18\times 1\)
\(\Leftrightarrow 9x+27-3x-15=6x-6+18\)
\(\Leftrightarrow 9x-3x-6x=18-6-27+15\)
\(\Leftrightarrow (9-3-6)x=0\)
\(\Leftrightarrow 0x=0\)
L’équation est indéterminée.
\(S=\mathbb{R }\)
\(b)\; \frac{x}{2}+\frac{2x+3}{12}-2=2(x-1)\)
\(\Leftrightarrow \frac{6x+2x+3-12\times 2}{12}=\frac{12\times 2(x-1)}{12}\)
\(\Leftrightarrow 6x+2x+3-24=24x-24\)
\(\Leftrightarrow 6x+2x-24x=-24-3+24\)
\(\Leftrightarrow (6+2-24)x=-3\)
\(\Leftrightarrow -16x=-3\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{16}\)
\(S=\{\frac{3}{16}\}\)
\(c)\; \frac{x}{2}+11-\frac{2x}{3}-4=\frac{x}{4}+25-\frac{5x}{12}\)
\(\Leftrightarrow \frac{6x+12×11-4×2x-12×4}{12}=\frac{3x+12×25-5x}{12}\)
\(\Leftrightarrow 6x+132-8x-48=3x+300-5x\)
\(\Leftrightarrow 6x-8x-3x+5x=300-132+48\)
\(\Leftrightarrow (6-8-3+5)x=216\)
\(\Leftrightarrow 0x=216\)
L’équation est impossible
\(S=\varnothing\)
\(d)\; \frac{9x+7}{2}-(x-\frac{x-2}{7})=3\)
\(\Leftrightarrow \frac{9x+7}{2}-x+\frac{x-2}{7}=3\)
\(\Leftrightarrow \frac{7(9x+7)-14x+2(x-2)}{14}=\frac{14×3}{14}\)
\(\Leftrightarrow 63x+49-14x+2x-4=42\)
\(\Leftrightarrow 63x-14x+2x=42-49+4\)
\(\Leftrightarrow (63-14+2)x=-3\)
\(\Leftrightarrow 51x=-3\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-3}{51}\)
\(S=\{\frac{-3}{51}\}\)
\(e)\; \frac{2x-1}{3}=x-\frac{1-x}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(2x-1)}{6}=\frac{6x-3(1-x)}{6}\)
\(\Leftrightarrow 4x-2=6x-3+3x\)
\(\Leftrightarrow 4x-6x-3x=-3+2\)
\(\Leftrightarrow (4-6-3)x=-1\)
\(\Leftrightarrow -5x=-1\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{5}\)
\(S=\{\frac{-1}{5}\}\)

EXERCICE 4

Soient les équations :
\(a) (2m-3)(x-2)=(3x-4)(2m-3)\)
\(b) m(x-1)-(m+1)(x+6)=10(x+5)\)
Déterminer la valeur de m pour que les équations a) et b) aient respectivement pour solutions -3 et 1/2

Résolution

a) Commençons par résoudre l’équation
\((2m-3)(x-2)=(3x-4)(2m-3)\)
\(\Leftrightarrow 2mx-4m-3x+6=6mx-9x-8m+12\)
\(\Leftrightarrow 2mx-3x-6mx+9x=-8m+12+4m-6\)
\(\Leftrightarrow (2m-3-6m+9)x=6-4m\)
\(\Leftrightarrow (6-4m)x=6-4m\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{6-4m}{6-4m}\)
Or il faut que x=-3
\(\frac{6-4m}{6-4m}=-3\)
\(\Leftrightarrow -3(6-4m)=6-4m \)
\(\Leftrightarrow -18+12m=6-4m \)
\(\Leftrightarrow 12m+4m=6+18\)
\(\Leftrightarrow 16m=24\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{24}{16}\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\)

En remplaçant m par \(\frac{3}{2}\) dans l’équation, cette dernière devient indéterminée, c’est-à-dire \(S=\mathbb{R} \ et\ -3 \in \mathbb{R}.\) Donc m doit être égal à 3⁄2 pour que cette équation aie -3 comme une solution (pas l’unique).

\(b) m(x-1)-(m+1)(x+6)=10(x+5)\)
\(\Leftrightarrow mx-m-(mx+6m+x+6)=10x+50\)
\(\Leftrightarrow mx-m-mx-6m-x-6=10x+50\)
\(\Leftrightarrow mx-mx-x-10x=50+m+6m+6\)
\(\Leftrightarrow (m-m-1-10)x=7m+56\)
\(\Leftrightarrow -11x=7m+56\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-(7m+56)}{11}\; (1)\)
\(or\; x=1/2 \; (2)\)
(2) = (1)
\(\frac{-(7m+56)}{11}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{-2(7m+56)}{22}=\frac{11}{22}\)
\(\Leftrightarrow -14m-112=11\)
\(\Leftrightarrow -14m=11+112\)
\(\Leftrightarrow -14m=123\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{-123}{14}\)

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