EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE

Nous allons aborder les équations du premier degré à une inconnue
N'ayez aucune crainte, car nous supposons que vous ne connaissez rien sur les équations du premier degré et allons expliquer très clairement avec des exemples bien expliqués...
A la fin, nous vous proposons une serie d'exercices résolus et non résolus pour votre entrainement
En cas de difficultés, questions ou suggestions, n'hesitez pas à me conctacter...
Bonne lecture...

I. EQUATION DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE

I.1 Définitions

I.1.1 Equation

Une équation est une égalité qui comporte au moins une inconnue.
Exemple $2x+3=5 \; et\; x+2y=5$ sont des équations.
Contre-exemple $56=50+6$ n’est pas une équation : c’est une égalité vraie mais qui n’ a pas des inconnues.
$2x+4$ N’est pas une équation car il n’y a pas d’égalité quoiqu’ayant une inconnue.

I..1.2 Equation à une inconnue

Une équation est dite à une inconnue si elle ne comporte qu’une seule inconnue (variable).
Exemple : $2x+3=4x+6 ; \: x^{2}=+5x+6=0 \: ; x^{3}+25x^{2}+30=0$ sont des équations à une variable.
Contre-exemple :$2x+3x=4$ n’est pas une équation à une inconnue.

I.1.3 Equation du premier degré

Une équation est dite du premier degré si le degré supérieur (l’exposant le plus élevé) de son (ses) inconnue(s) est 1.
Exemple : $x+4x=5+2x; \: x+2y=3$ sont des équations du premier degré.
Contre-exemple :$x^{2}-6x+3=0$ n’est pas une équation du premier degré.

I.1.4 Equation du premier degré à une inconnue

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation contenant une seule inconnue et dont le degré supérieur de cette inconnue est 1.
La forme générale est : $ax+b=0$. Avec $a\neq 0 \ et \ b \in \mathbb{R}$
Exemple : $5x+4=0 \ et\ 2x+4=6x+3$ sont des équations du premier degré à une inconnue.
Contre-exemple : $x^{2}+5x+6=0$ n’est pas une équation du premier degré.

II.2 Résolution

Résoudre une équation, c’est chercher l’ensemble des valeurs qui vérifient l’égalité et ces valeurs sont appelées solutions de l’équation.
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on procède comme suit :

I.2.1 1ere méthode

D’abord supprimer les parenthèses et crochets (s’il y en a)
Ramener l’équation sous la forme générale $ax+b=0$ (en groupant les termes semblables).
Renvoyer le terme indépendant (b) au second membre de l’égalité pour avoir ceci : $ax=-b$
Trouver la valeur de x : $x=\frac{-b}{a}$

Exemple 1

Résoudre les équations suivantes :

a)$5x+3=3x-5$

Comme il n’y a pas de parenthèses, on passe directement à la deuxième étape : ramenons tous les termes au premier membre de l’égalité (c’est-à-dire avant le signe =).

Sans oublier que si un terme change de membre, il change aussi de signe

$5x+3-3x+5=0 \quad \quad (3x \; et\; -5 $ ont changé de membre, leurs signes changent aussi)

Groupons les termes semblables (les termes en $x$ entre eux et les termes sans $x$ entre eux) :

$(5x-3x) +(3+5)=0$

$\Leftrightarrow 2x+8=0$ (Selon la forme générale, a =2 et b=8)

-Renvoyons le terme indépendant (8) au second membre :

$\Leftrightarrow 2x=-8$

$\Leftrightarrow x=\frac{-8}{2}$

$S=\{4\}$

$(3x+3)-4=2x-2(2x-2)$
$\Leftrightarrow 4×3x+4×3-4=2x-2×2x-2×(-2)$
$\Leftrightarrow 12x+12-4=2x-4x+4$
$\Leftrightarrow 12x+12-4-2x+4x-4=0$
$\Leftrightarrow (12x-2x+4x)+(12-4-4)=0$
$\Leftrightarrow14x+4=0$
$\Leftrightarrow 14x=-4$
$\Leftrightarrow x= \frac {-4}{14}$
$\Leftrightarrow x=\frac {-2}{7}$
$S=\{\frac {-2}{7}\}$

$\frac{(2x+3)}{4}+\frac{x-5}{3}-\frac{x}{2}=2$
Dans ce cas, trouvons d’abord le dénominateur commun, dans notre cas, c’est 12.
Voici ce qu’on va faire : pour chaque terme, on divise le dénominateur par le dénominateur du terme, multiplié par le numérateur.
$ \frac{3(2x+3)}{12}+\frac{4(x-5)}{12}-\frac{ 6\times x}{12}=\frac {12 \times 2}{12}$
$\Leftrightarrow \frac{ 3(2x+3)+4(x-5)- 6\times x}{12}= \frac {12 \times 2}{12}$
$\Leftrightarrow \frac{6x+9+4x-20-6x}{12}= \frac { 24}{12}$
Comme les deux membres ont le même dénominateur, on peut simplifier les deux dénominateurs pour ne rester qu’avec les numérateurs.
$\Leftrightarrow 6x+9+4x-20-6x=24$
$\Leftrightarrow 6x+9+4x-20-6x-24=0$
$\Leftrightarrow (6x+4x-6x)+(9-20-24)=0$
$\Leftrightarrow 4x-35=0$
$\Leftrightarrow 4x=35$
$\Leftrightarrow x=\frac{35}{4}$
$S=\{\frac{35}{4}\}$

I.2.2 2e méthode :

Ramener les termes en x au premier membre et les termes indépendants au second membre
Grouper les termes pour avoir $$ax=b\)
Calculer $ x=\frac{b}{a}$

Exemple 2

Résoudre : $3(2x-3)+4=x-4(2x-1)$
$\Leftrightarrow 6x-9+4=x-8x+4$
$\Leftrightarrow 6x-x+8x=4+9-4$
$\Leftrightarrow 13x=9$
$\Leftrightarrow x=\frac{9}{13}$
$ S=\frac{9}{13}$

Exemple 3

Résoudre : $5x-4x-2(x-3)-52=-3(x-5)+52$
$\Leftrightarrow 5x-4x-2x+6-52=-3x+15+52$
On groupe les termes semblables de chaque membre
$\Leftrightarrow (5x-4x-2x)+(6-52)=-3x+(15+52)$
$\Leftrightarrow -x-46=-3x+67$
$\Leftrightarrow -x+3x=67+46$
$\Leftrightarrow 2x=113$
$\Leftrightarrow x=\frac{113}{2}$
$S=\{\frac{113}{2}\}$

I.3 Equations particulières

Si lors de la résolution, on trouve : $O.x=b$ avec $ b\ \neq 0$, alors l’équation est impossible et $ S=\varnothing$
Et si on trouve $0.x=0$, alors l’équation est indéterminée et $S=\mathbb {R}$.

Exemple 4

Résoudre les équations ci-après :

a) $2x+3=2(x-4)+3$
$\Leftrightarrow 2x+3=2x-8+3$
$\Leftrightarrow 2x-2x=-8+3-3$
$\Leftrightarrow 0x=-8$
L’équation est impossible, $S=\varnothing$

b) $5-3(x-4)=-3x+17$
$\Leftrightarrow 5-3x+12=-3x+17$
$\Leftrightarrow -3x+3x=17-5-12$
$\Leftrightarrow 0x=0$
L’équation est indéterminée, $S=\mathbb {R}$

Remarque

Deux équations sont dites équivalentes si et seulement si elles admettent la même solution. Exemple : $2x+4=0 \ et \ x+2=0$ sont équivalentes car elles ont la meme solution $\{2\}$.

Retrouvez ce cours en format pdf
Télécharger

Retrouvez ce cours format pdf
Télécharger