Salut, soyez la bienvenue...
Nous allons aborder la diagonalisation d'une matrice carrée, A la fin de ce cours; vous serez capable de diagonaliser une matrice carrée de A à Z. Alors sans plus tarder, on commence
Bonne lecture
Une matrice carrée est une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes.
Exemples
\( A=\begin{pmatrix} 12 & 2 & 0 \\ -5 & 9 & 34 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\)
est une matrice ayant 3 lignes et 3 colonnes, donc une matrice carrée.
\( B=\begin{pmatrix} 1 & 45 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}\) est une matrice ayant 2 lignes et 2 colonnes, donc une matrice carrée
Etant donné que le nombre de lignes égal au nombre de colonnes, au lieu de dire que la matrice est de type \(n×n\), on dira simplement que la matrice est d’ordre \(n\). Dans l’exemple ci-dessus, la première matrice est d’ordre 3 et la deuxième est d’ordre 2.
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale.
Exemples :
\( A=\begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)
\( B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\)
\( C=\begin{pmatrix} 19 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\)
sont des matrices diagonales
Si en particulier, tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, on parle d’une matrice unité ou unitaire ou encore une matrice identité notée \(I_n\), où \(n\) représente l’ordre de la matrice.
Exemples :
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
est matrice unitaire d’ordre 3, donc \(I_3\)
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
est matrice unité d’ordre 2, donc \(I_2\)
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
est une matrice unité d’ordre 3, donc \(I_4 \)
Diagonaliser une matrice c’est trouver une matrice diagonale qui lui est semblable. Cela signifie que certaines matrices sont diagonalisables et les autres ne le sont pas.
Exemple :
Soit la matrice
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)
la matrice diagonale qui lui est semblable est la matrice
\( D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Nous allons apprendre pas à pas à diagonaliser une matrice carrée. La diagonalisation d’une matrice passe par les étapes suivantes :
Pour l’illustration de la marche à suivre pour diagonaliser une matrice, nous allons utiliser la matrice suivante :
\( A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix}\)
Le polynôme caractéristique de matrice A noté par \(P_A (λ)\) est le déterminant donné par la formule :
\( P_A (λ)=det(A-λ I_n ) \) Avec \(I_n\) : la matrice unité et \(n\) : l’ordre de la matrice
Dans notre cas, la matrice est d’ordre 3, donc le polynôme caractéristique est donné par :
\(P_A (λ)=det(A-λ I_3 )\)
Trouvons d’abord \(A-λ I_3\)
\( \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix} - \)
\( λ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix} - \) \( \begin{pmatrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} 4-λ & 0-0 & 2-0 \\ 2-0 & 2-λ & 2-0 \\ -4-0 & 0-0 & -2-λ \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} 4-λ & 0 & 2 \\ 2 & 2-λ & 2 \\ -4 & 0 & -2-λ \end{pmatrix} \)
Remarquez que pour trouver la dernière matrice, il suffisait seulement de soustraire λ des éléments de la diagonale principale.
\( P_A (λ)= \begin{vmatrix} 4-λ & 0 & 2 \\ 2 & 2-λ & 2 \\ -4 & 0 & -2-λ \end{vmatrix} \)
Trouvez ce déterminant en utilisant une méthode que vous maitrisez, dans notre cas, utilisons la méthode de cofacteur, développons par rapport à la deuxième rangée car elle contient déjà deux zéros.
\(P_A (λ)=(2-λ) \begin{vmatrix} 4-λ & 2 \\ -4 & -2-λ \end{vmatrix} \)
\(=(2-λ)[(4-λ)(-2-λ)+8]\)
\(=(2-λ)(-8-4λ+2λ+λ^2+8) \)
\(=(2-λ)(λ^2-2λ)\)
\(P_A (λ)=(2-λ) λ (λ-2) \)
Pour trouver les valeurs propres, on égale le polynôme caractéristique à zéro et on résout l’équation ainsi formée, les solutions obtenus sont des valeurs propres de la matrice.
\(P_A (λ)=0 \)
\( \Leftrightarrow(2-λ) λ (λ-2)=0 \)
\( \Leftrightarrow2-λ=0 \; ou \; λ=0 \; ou \; λ-2=0 \; car A.B.C=0 \Leftrightarrow A=0 \; ou \; B=0 \; ou C=0 \)
\( \Leftrightarrow \; λ=2 \; ou \; λ=0 \; ou\; λ=2 \)
Nous avons trouvé deux valeurs propres
\(0: \) une racine simple
\( 2:\) une racine double
Pour trouver le vecteur propre, on se sert de l’égalité suivante :
\( AX=λX \quad Avec \; X= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \)
Ou on peut former un système d’équations suivant :
\((A-λ I_n ) X=0 \)
On doit trouver le vecteur ou sous espace propre associé à chaque valeur propre.
\( AX=λX \) On remplace \(λ \; par \; 0\)
\( \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix}\)
\( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\)
\( 0 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
\( \begin{pmatrix} 4x+2z \\ 2x+2y+2z \\ -4x-2z \end{pmatrix}=\)
\( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Par identification, on a :
\( \left\{ \begin{array}{r c l} 4x+2z &=& 0\\ 2x+2y+2z &=& 0\\ -4x-2z &=& 0 \end{array} \right. \)
Ici, il n’est pas question de résoudre le système d’équations, mais d’établir une relation entre les variables (inconnues) \(x,y \; et \; z\)
Partant de (1), on a : \(2z=-4x ⇒z=-2x \quad (4)\)
(4) dans (2) ∶ \( 2x+2y+2(-2x)=0 \)
\( \Leftrightarrow 2x+2y-4x=0 \)
\( \Leftrightarrow 2y-2x=0 \)
\( \Leftrightarrow 2y=2x \)
\( \Leftrightarrow y=x \)
\( \left\{ \begin{array}{r c l} 4x+2z &=& 0\\ 2x+2y+2z &=& 0\\ -4x-2z &=& 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \) \( \left\{ \begin{array}{r c l} z &=& -2x \\ y &=& x \end{array} \right. \)
\( V(0)=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3:z=-2x ;y=x; x \in\mathbb{R} \} \)
En remplaçant z et y par leurs valeurs,on a :
\( V(0)=\{(x,x,-2x) ∶ x \in \mathbb{R} \} \)
\( =\{x(1,1,-2): x \in \mathbb{R} \} \)
En posant \(x=1\), on obtient :
\( V(0)= \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} \)
D’où \(V(0)\) est un sous espace vectoriel de dimension 1 et a pour base le vecteur \( V_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \)
\( AX=λX \) On remplace \(λ \; par \; 2\)
\( \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix}\)
\( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\)
\( 2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
\( \begin{pmatrix} 4x+2z \\ 2x+2y+2z \\ -4x-2z \end{pmatrix}=\)
\( \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}\)
Par identification, on a :
\( \left\{ \begin{array}{r c l} 4x+2z &=& 2x\\ 2x+2y+2z &=& 2y\\ -4x-2z &=& 2z \end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{r c l} 2x+2z &=& 0\\ 2x+2z &=& 0\\ -4x-4z &=& 0 \end{array} \right. \)
Divisons les deux premières équations par 2 et la dernière par 4 :
\( \Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{r c l}
x+z &=& 0\\
x+z &=& 0\\
-x-z &=& 0
\end{array}
\right.
\)
Multiplions la troisième équation par -1 :
\( \Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{r c l}
x+z &=& 0\\
x+z &=& 0\\
x+z &=& 0
\end{array}
\right.
\)
Les trois équations sont identiques
\(
\left\{
\begin{array}{r c l}
x+z &=& 0\\
x+z &=& 0\\
x+z &=& 0
\end{array}
\right.
\)
\( \Leftrightarrow x+z=0 \quad \Leftrightarrow x=-z
\)
\(V(2)=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3:x=-z,y \; et \; z \in R\} \)
\( =\{(-z,y,z),y \; et \; z \in \mathbb{R} \}\)
Décomposons ce vecteur en une somme de deux vecteurs, dans un vecteur, on aura que y et dans l’autre que z
Nous avons \((-z,y,z)=( \; , \; ,\;)+( \;, \; , \; )\)
On va décomposer chaque composante en y et z
Pour la première composante, nous avons \(-z=0y-z=(0)+(-z)\)
Pour la deuxième composante, nous avons : \(y=y+0z=(y)+(0)\)
Pour la troisième composante : \(z=0y+z=(0)+(z)\)
\( (-z,y,z)=(0,y,0)+(-z,0,z)\)
\( V(2)=\{(0,y,0)+(-z,0,z),y \; et \; z \in \mathbb{R}\} \)
\(=\{y(0,1,0)+z(-1,0,1),y \; et \; z \in \mathbb{R} \} \)
En remplaçant y et z par 1, on a :
\( V(2)= \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} \)
D’où \(V(2)\) est un sous espace vectoriel de dimension 2 qui a pour base les vecteurs \( V_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \; et \; V_3= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Pour qu’une matrice soit diagonalisable, elle doit vérifier au moins un des critères suivants :
Pour notre cas d’illustration : La matrice est d’ordre 3 et définie dans R
Elle admet trois valeurs propres : 0, 2, 2, donc 0 est une racine simple et 2 une racine double.
La multiplicité de 0 est 1 (racine simple) et la dimension de son sous espace vectoriel associé est 1
La multiplicité de 2 est 2 (racine double), la dimension de son sous espace vectoriel associé est 2
Donc la matrice A est diagonalisable
La matrice de passage notée P est la matrice formée des vecteurs propres de la matrice A.
\(P=( V_1 \quad V_2 \quad V_3 ) \)
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Ensuite, il faut trouver l’inverse de P
\( P^ {-1} =\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)
Si vous ne savez pas comment trouver l'inverse d'une matrice, alors lisez ce cours sur l'inversion des matrices. Cliquez ici pour voir le cours
La matrice diagonale D semblable à A est donnée par la formule :
\(D=P^{-1} A P \)
\( =\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\( =\begin{pmatrix} -4+0+4 & 0+0+0 & -2+0+2 \\ 4+2-4 & 0+2+0 & 2+2-2 \\ -8+0+4 & 0+0+0 & -4+0+2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\( =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\(= \begin{pmatrix} 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+0 \\ 2+2-4 & 0+2+0 & -2+0+2 \\ -4+0+4 & 0+0+0 & 4+0-2 \end{pmatrix} \)
\( D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
Donc la matrice diagonale semblable à A est \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)