Salut, nous allons parler du domaine de définition des fonctions. Le domaine de défintion dépend du type de la fonction.
Bonne lecture

1. fonction polynôme

1. fonction polynôme

Une fonction polynôme est définie pour tout réel.
\(D_f=\mathbb{R} \).
Exemples
\(1 f(x)=x^2+2x-3+7x^3 \quad D_f=\mathbb{R} \)
\(2 f(x)=x^3+\frac{(2x-5)}{5 } \quad D_f=\mathbb{R} \)

Pour ceux qui ont un problème pour reconnaitre une fonction polynôme, voici quelques éléments pour vous :
Une fonction polynôme :

• N’a pas de variable sous le signe radical
• N’a pas de variable au dénominateur

Exemples
\( f(x)=2x^2-x+3 \; ; \; f(x)=2x+\sqrt{3} \; ; \; f(x)=\frac{2x+4}{3} \) sont des fonctions polynômes.
Contre-exemples:
\(f(x)=\sqrt{2x+3}+x^2-1 \; ; \; f(x)=\frac{x^2-1}{x} \) ne sont pas de fonctions polynômes.

2. Fonctions rationnelles

2. Fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle est une fonction ayant la forme suivante :
\( f(x)=\frac{h(x)}{g(x} \)
Avec \(h(x) \; et \; g(x) \) des fonctions polynômes.
\(D_f=\{x \in \mathbb{R}:g(x)\neq 0 \} \)ou
\(D_f=\mathbb{R}- \{x\in \mathbb{R:}g(x)=0\} \)
Cela signifie qu’on prend toutes les valeurs de \( \mathbb{R} \) sauf celles qui annulent le dénominateur.

Pour trouver le domaine de définition d’une fonction rationnelle, on procède comme suit :

• Egaler le dénominateur à zéro.
• Résoudre l’équation ainsi formée.
• Prendre toutes les valeurs de R à l’exception des racines ou solutions de l’équation.

Exemples
\(1) f(x)=\frac{x-5}{x-2} \)
\( D_f=\mathbb{R} - \{x \in \mathbb{R}: x-2=0 \} \)
On égale le dénominateur à 0
\(x-2=0 \Leftrightarrow x=2\)
\(D_f=\mathbb{R} -\{2\} \) Ou sous forme d’intervalles
\( D_f =\left]- \infty;2\right[ \bigcup \left]2;+ \infty \right[\)

\(2). f(x)=\frac{2x+8}{x^2-5x+6} \)
\( D_f=\{ \mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}:x^2-5x+6=0 \} \)
\( x^2-5x+6=0 \)
\( ∆=(-5)^2-4×1×6 \)
\( ∆=1 \)
\( x_1=2 \quad et \quad x_2=3 \)

\( D_f= \mathbb{R} - \{2; 3 \} \quad \) ou \(\left]- \infty;2\right[ \bigcup \left]2;3 \right[ \bigcup \left]3;+ \infty\right[ \)

3. Fonction irrationnelle de la forme \( f(x)= \sqrt[n]{t(x)} \)

3. Fonction irrationnelle de la forme \( f(x)= \sqrt[n]{t(x)} \)

Dans ce cas, on examine la parité de n (indice),
Si n est pair \( D_f=\{x \in \mathbb{R}∶t(x) \geqslant 0 \} \)
Si n est impair \( D_f=\mathbb{R} \)
\( t(x) \) est le radicant, c’est-à-dire ce qui se trouve sous le signe radical.

Exemples
\( 1) f(x)=\sqrt[5]{2x-3} \) L’indice 5 est impair, donc \(D_f=\mathbb{R } \)
\( 2) f(x)=\sqrt{-x^2-5x-6} \)
L’indice est pair
\( Df=\{x \in \mathbb{R}∶-x^2-5x-6 \geqslant 0 \} \)
\(-x^2-5x-6 \geqslant 0 \)
\(-x^2-5x-6=0 \)
\( ∆=(-5)^2-4×(-1)×(-6)\)
\( ∆=1\)
\(x_1=-3 \quad et \quad x_2=-2 \)

4. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\sqrt[n]{\frac{h(x)}{g(x)}} \)

4. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\sqrt[n]{\frac{h(x)}{g(x)}} \)

Si n est impair : \(D_f=\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
On procède comme dans le cas des fonctions rationnelles
Si n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}: \frac{h(x)}{g(x)} \geqslant 0 \} \)
Exemples

\( 1) f(x)=\sqrt[3]{\frac{x^2+5x-6}{x^2-2x+1}} \)
n est impair : \(D_f=\mathbb{R} -\{x \in \mathbb{R}:x^2-2x+1=0\} \)
\(x^2-2x+1=0\)
\(∆=(-2)^2-4×1×1 \)
\( ∆=0\)
\(x_1=x_2=\frac{2}{2}=1 \)
\( D_f=\mathbb{R}-\{1\} \quad ou \quad D_f=\left]- \infty ;1 \right[ \bigcup \left]1 ;+ \infty \right[ \)

\( 2) f(x)=\sqrt[4]{\frac{x-5}{x^2-7x+12}} \)
n est pair: \(D_f=\{x \in \mathbb{R}: \frac{x-5}{x^2-7x+12} \geqslant 0 \} \)
\( \frac{x-5}{x^2-7x+12} \geqslant 0 \)
\( x-5=0 \Leftrightarrow x=5 \)
\( x^2-7x+12=0 \Leftrightarrow x_1=4 \; et \; x_2=3 \)

5. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{h(x)}{\sqrt[n]{g(x)}} \)

5. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{h(x)}{\sqrt[n]{g(x)}} \)

On examine la parité de n (l’indice) :
Si n est impair : \(D_f= \mathbb{R} -\{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
Si n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:g(x)>0\} \)
Exemples :

\( 1) f(x)=\frac{x^2+5x-6}{\sqrt[5]{x^2-2x+1}} \)
n est impair : \(D_f=\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}:x^2-2x+1=0 \} \)
\(x^2-2x+1=0\)
\(∆=(-2)^2-4×1×1\)
\(∆=0\)
\(x_1=x_2=\frac{2}{2}=1 \)
\( D_f=\mathbb{R}-\{1\} \quad ou \quad D_f=\left]- \infty ;1 \right[ \bigcup \left]1 ;+ \infty \right[ \)

\( 2) f(x)=\frac{x^2+5x-6}{\sqrt{(-x)^2+4x-3} } \)
n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:(-x)^2+4x-3>0 \} \)
\( (-x)^2+4x-3>0\)
\((-x)^2+4x-3=0 \)
\(∆=(4)^2-4×(-1)×(-3) \)
\(∆=4 \)
\(x_1=1 \quad et \quad x_2=3\)

6. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{ \sqrt[n]{h(x)}}{g(x)} \)

6. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{ \sqrt[n]{h(x)}}{g(x)} \)

On examine toujours la parité de n
Si n est impair : \(D_f=\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
Si n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:h(x) \geqslant 0 \; et \; g(x) \neq 0 \} \) ou
\( D_f=\{x \in \mathbb{R}:h(x) \geqslant 0 \} \cap \mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
Exemples

\(1) f(x)=\frac{\sqrt{x^2-8x+15}}{x-3} \)
n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:x^2-8x+15 \geqslant 0 \} \cap \mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}:x-3=0 \} \)
\(x^2-8x+15 \geqslant 0 \)
\(x^2-8x+15= 0 \)
\(∆=(-8)^2-4×1×15 \)
\(∆=4 \)
\(x_1=5 \quad et \quad x_2=3 \)

\( x-3 \neq 0 \)
\(x \neq 3 \)
\(S_2=\left ]- \infty ;3 \right[ \bigcup \left]3; + \infty \right [ \)
\(D_f=S_1 \cap S_2= \left ]- \infty ;3 \right[ \bigcup \left[5; + \infty \right[ \)

\( 2) f(x)=\frac{\sqrt[7]{x^2-3x+2}}{x^2-15x+14} \)
L’indice est impair.
\(D_f=\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
\(x^2-15x+14=0 \)
\(∆=b^2-4ac \)
\(=(-15)^2-4×1×14 \)
\(=225-56\)
\(∆=169 \)

\( x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a} \quad \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a} \)
\(=\frac{15-\sqrt{169}}{2} \quad \quad \quad =\frac{15+\sqrt{169}}{2.1} \)
\(=\frac{15-13}{2} \quad \quad \quad =\frac{15+13}{2} \)
\(=\frac{2}{2} \quad \quad \quad =\frac{28}{2} \)
\(x_1=1 \quad \quad x_2=14 \)

\(D_f=\mathbb{R }- \{1 ;14\} \)
\(D_f=\left]- \infty ;1 \right[ \bigcup \left ]1;14 \right[ \bigcup \left]14; +\infty \right[ \)

7. Fonction de la forme \(f(x)=\frac{\sqrt[n]{h(x}}{\sqrt[m]{g(x)} } \)

7. Fonction de la forme \(f(x)=\frac{\sqrt[n]{h(x}}{\sqrt[m]{g(x)} } \)

Si n et m sont pairs : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:h(x) \geqslant 0 \; et \; g(x)>0 \} \)
Si n et m sont impairs : \(D_f=\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}:g(x)=0\} \)
Si n est pair et m impair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:h(x) \geqslant 0 \; et \; g(x) \neq 0 \} \)
Si n est impair et m pair : \(D_f= \{x \in \mathbb{R}:g(x)>0\} \)
Exemples

\( 1) f(x)=\frac{\sqrt{-x^2-7x-8}}{\sqrt[4]{x^2-2x+2} } \)
Les deux indices sont pairs :
\(D_f=\{x \in \mathbb{R}:-x^2-7x-8 \geqslant 0 \; et \; x^2-2x+2>0\} \)
\(-x^2-7x-8 \geqslant 0 \)
\(-x^2-7x-8=0 \)
\(∆=(-7)^2-4×(-1)(-8) \)
\(=48-32\)
\(∆=16 \)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{∆} }{2a} \quad \quad \) \(=\frac{7-\sqrt{16}}{2.(-1)} \quad \quad \) \(=\frac{7-4}{-2} \quad \quad \) \(= \frac{3}{-2} \quad \quad \) \(x_1=-\frac{3}{2} \quad \quad \)

\(x_2=\frac{(-b+\sqrt{∆}}{2a} \) \(=\frac{7+\sqrt{16}}{2.(-1)} \) \(=\frac{7+4}{-2} \) \(= \frac{11}{-2} \) \(x_2=-\frac{11}{2} \)

\(S_1=\left[-\frac{11}{2} ; -\frac{3}{2} \right] \)
\(x^2-2x+2>0 \)
\(x^2-2x+2=0 \)
\(∆=(-2)^2-4×1×2\)
\( =4-8\)
\(∆=-4 \)
Pas de racines réelles

\(S_2=\left]-\infty ; +\infty \right[ \)
\(D_f=S_1 \cap S_2 \)
\(\left[-\frac{11}{2} ; -\frac{3}{2} \right] \cap \left]-\infty ; +\infty \right[ \)
\(D_f=\left[-\frac{11}{2} ; -\frac{3}{2} \right] \)

\( 2)f(x)=\frac{\sqrt[3]{2x+3 }}{\sqrt[5]{2x+4} } \)
Les deux indices sont impairs.
\(D_f=\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}∶2x+4=0\} \)