I. CALCUL DES LIMITES

I. CALCUL DES LIMITES

I.1 Généralités

I.1 Généralités

D’une manière générale, pour calculer \(\underset{x \to a}{lim} f(x)\), on calcule \(f(a)\), c’est-à-dire on remplace partout il y a la variable \(x\) par le réel \(a\).

Exemples :

\(1)\underset{x\to 2}{lim} \; ⁡2x+5\)

\(\underset{x\to 2}{lim}\; ⁡2x+5=2 \times 2+5=9 \)

\(\underset{x\to 2}{lim}\; ⁡2x+5=9 \)

\( 2) \underset{x \to 4}{lim} \; \frac{x^2+2x-8}{\sqrt{x^2+9}}\)

\( \underset{x \to 4}{lim} \; ⁡\frac{x^2+2x-8}{\sqrt{x^2+9}}=\frac{4^2+2×4-8}{\sqrt{4^2+9}}=\frac{16}{5}\)

\( \underset{x \to 4}{lim} \; \frac{x^2+2x-8}{\sqrt{x^2+9}}=\frac{16}{5} \)

I.2 Propriétés sur les limites

I.2 Propriétés sur les limites

Soient \(f \; et \; g\) deux fonctions admettant des limites en \(a \; et \; \lambda \in \mathbb{R}\).

1.si \( \forall x \in \mathbb{R} ,f(x)=\lambda \),alors∶

\(\underset{x \to a}{lim}f(x)=\lambda \)

La limite d’une fonction constante est égale à la constante quelle que soit la limite de la variable x

\(2. \underset{x \to a}{lim} \; \lambda f(x)=\lambda \underset{x \to a}{lim} f(x) \)

Exemple
Calculer \(\underset{x \to 1} {lim} \; (2x+4)\)

\(\underset{x \to 1}{lim} \; (2x+4)=\underset{x \to 1}{lim} \; 2(x+2) \)

\(=2 \underset{x \to 1}{lim}\; (x+2) \)

\(=2 (1+2) \)

\( =2(3) \)

\(\underset{x \to 1}{lim} (2x+4)=6 \)

\(3. \underset{x \to a}{lim} \left[f(x) \pm g(x)\right]=\underset{x \to a}{lim} \; f(x) \pm \underset{x \to a}{lim} \; g(x)\)

\(4. \underset{x \to a}{lim} \; \left[f(x).g(x)\right]=\underset{x \to a}{lim}\; f(x) . \underset{x \to a}{lim} \; g(x) \)

Exemple
\(f(x)=(2x+1)(x+1) \)

\(\underset{x \to 2}{lim} \; f(x)= \underset{x \to 2}{lim} \; (2x+1)(x+1) \)

\(=\underset{x \to 2}{lim} \; (2x+1). \underset{x→2}{lim} \; (x+1) \)

\(=(2.2+1)(2+1) \)

\(=(4+1)(3) \)

\(\underset{x \to 2}{lim} \; (2x+1)(x+1)=15 \)

\(5. \underset{x \to a}{lim} \; \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{ \underset{x \to a}{lim} \; f(x)}{ \underset{x \to a}{lim} \; g(x)} \quad (\underset{x \to a}{lim} \; g(x) \neq 0)\)

\( 6. \underset{x \to a}{lim} \; \left[f(x)\right]^{n}=\left[\underset{x \to a}{lim} \; f(x)\right]^{n} \)

Exemple
\(f(x)=(x+1)^{3} \)

\(\underset{x \to 1}{lim} \; f(x)=\underset{x \to 1}{lim} \; (x+1)^{3} \)

\( =\left[\underset{x→1}{lim} \; (x+1)\right]^{3} \)

\(=\left[(1+1)\right]^{3} \)

\(=(2)^{3} \)

\(\underset{x \to 1}{lim} \; (x+1)^{3}=8\)

8. La limite d’un polynôme lorsque x tend vers l’infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
Exemples

\(a)\underset{x \to +\infty}{lim} \; (5x^{6}+2x^{3}+2x-5) \)

Quand on parle de degré supérieur, on regarde les exposants de x, on constate que le plus grand exposant de x est 6.

\( a)\underset{x \to +\infty}{lim} \; (5x^{6}+2x^{3}+2x-5)= \underset{x \to +\infty} {lim}\; 5x^6 \)

\(=5 (+\infty)^{6} \)

\( \underset{x \to +\infty}{lim} \; (5x^{6}+2x^{3}+2x-5)=+\infty \)

\(b) \underset{x \to -\infty}{lim} \; (1+3x^{2}-2x) \)
Dans ce cas, le degré (exposant) supérieur est 2

\( \underset{x \to -\infty}{lim} \; (1+3x^{2}-2x)= \underset{x \to -\infty}{lim} \;3x^2 \)

\(=3 (-\infty)^{2}\)

=\(3.\infty\)

\(\underset{x \to -\infty}{lim} \; (1+3x^{2}-2x)=\infty\)

\(c)\underset{x \to -\infty}{lim} \; (1-2x^{4}+3x^{3}+1)\)

\(=\underset{x \to -\infty}{lim} \; (-2x^{4}) \)

\(=-2 (-\infty)^{4}\)

\(=-2\times (\infty) \)

\(\underset{x \to -\infty}{lim} \; (1-2x^{4}+3x^{3}+1)=-\infty \)

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