Salut, découvrez les formules et méthodes simples pour calculer la dérivée de n’importe quelle fonction. Avez-vous peur des mathématiques ? Pas de panique, dans ce cours, j’explique très clairement avec des termes si simples pour la bonne compréhension. Hormis le cours et des exemples, je vous propose une série d’ exercices résolus pour la maîtrise du cours.
bonne lecture...

I. Formules des dérivées

I. Formules des dérivées

1. Fonction constante

1. Fonction constante

Une fonction constante, est une fonction qui ne prend qu’une seule valeur, indépendamment de sa variable.
\(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} ∶x \rightarrow f(x)=c, \quad avec \quad c \in \mathbb{R} . \)
Exemple
\(f(x)=5\) est une fonction constante car quel que soit la valeur de la variable x, l’image sera toujours 5.
\(f(-2)=5\)
\(f(10)=5 \)
La dérivée d’une fonction constante donne 0.
Soit \(f(x)=c , \quad \) avec \( c \in \mathbb{R} \)
\(f'(x)=(c)'=0 \)
Exemples :
\(f(x)=10 \Rightarrow f'(x)=0 \)
\(f(x)=5 \Rightarrow f'(x)=0 \)

2. Dérivée d’une fonction identique

2. Dérivée d’une fonction identique

Une fonction identique, est une fonction qui n’a aucun effet lorsqu’elle appliquée à un élément : elle retourne toujours la valeur qui est utilisée comme argument.
En d’autres termes, une fonction identique ou identité est une fonction où chaque antécédent égal à son image.
\(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}∶x \rightarrow f(x)=x \)
Exemple
\(f(x)=x\) est une fonction identique car chaque antécédent égal à son image
\(f(2)=2 \)
\(f(-5)=-5 \)
La dérivée d’une fonction identique égale 1.
\(f(x)=x \Rightarrow f'(x)=1 \)

3.Autres formules pour la dérivation

3.Autres formules pour la dérivation

Soient f(x) et g(x), deux fonctions dérivables en un point donné.

\(1.(ax)'=a \quad avec \quad a \in \mathbb{R} \)

\(1.(ax)'=a \quad avec \quad a \in \mathbb{R} \)

Exemple
\( f(x)=5x\)
\( f' (x)=5 \)

2.\((x^n)' = n x^{n-1} \)

2.\((x^n)' = n x^{n-1} \)

Exemple
\( a) f(x)=x^3\)
Ici \(n=3\)
\(f'(x)=3x^{3-1} \)
\(f'(x)=3x^2 \)
\( b) f(x)=x^6\)
Ici \(n=6\)
\(f'(x)=6x^{6-1} \)
\( f'(x)=6x^5 \)

\(3.(f\pm g)'(x)=f'(x) \pm g'(x) \)

\(3.(f\pm g)'(x)=f'(x) \pm g'(x) \)

Exemples
\( a) f(x)=2x-5x+3\)
\( f'(x)=(2x)'-(5x)'+(3)' \)
\( =2-5+0\)
\( f'(x)=-3\)
\( b) f(x)=3-5x \)
\( f'(x)=(3)'-(5x)' \)
\( =0-5\)
\( f'(x)=-5 \)
\( c) f(x)=2x+2x^3+3 \)
\( f'(x)=(2x)'+(2x^3)'+(3)' \)
\( =2+2×3.x^{3-1}+0 \)
\( =2+6x^2 \)
\( f'(x)=6x^2+2 \)

\(4.(f.g)'(x)=f'(x).g(x)+g'(x).f(x) \)

\(4.(f.g)'(x)=f'(x).g(x)+g'(x).f(x) \)

Exemples
\(a) f(x)=(x^2+2x+3)(2x-5)\)
\( f'(x)=(x^2+2x+3)'(2x-5)+(2x-5)'(x^2+2x+3) \)
\(= [(x^2)'+(2x)'+(3)' ](2x-5)+[(2x)'-(5)' ](x^2+2x+3) \)
\( =(2x^{2-1}+2+0)(2x-5)+(2-0)(x^2+2x+3) \)
\( =(2x+2)(2x-5)+2(x^2+2x+3) \)
\( =4x^2-10x+4x-10+2x^2+4x+6 \)
\( =(4+2) x^2+(-10+4+4)x-10+6 \)
\( f'(x)=6x^2-2x-4 \)
\( b) f(x)=x^5 (x^3+2x-1) \)
\( f'(x)=(x^5)' (x^3+2x-1)+(x^3+2x-1)' (x^5) \)
\( =5x^{5-1} (x^3+2x-1)+[(x^3)'+(2x)'-(1)' ](x^5) \)
\( =5x^4 (x^3+2x-1)+(3x^{3-1}+2-0)x^5 \)
\( =5x^7+10x^5-5x^4+(3x^2+2)x^5 \)
\( =5x^7+10x^5-5x^4+3x^7+2x^5 \)
\( =(5+3)x^7+(10+2)x^5-5x^4 \)
\( f'(x)=8x^7+12x^5-5x^4 \)

\(5.(f^n)'=n f^{n-1} f'\)

\(5.(f^n)'=n f^{n-1} f'\)

Exemples
\(a) f(x)=(2x+3)^3 \)
\(f'(x)=3(2x+3)^{3-1} (2x+3)' \)
\( =3(2x+3)^2 [(2x)'+(3)' ] \)
\( =3[(2x)^2+2×2x×3+3^2 ](2+0) \quad \quad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)
\( =3(4x^2+12x+9)(2) \)
\(=6(4x^2+12x+9) \)
\(f'(x)=24x^2+72x+54 \)
\(b) f(x)=(5x+1)^4 \)
\(f'(x)=4(5x+1)^{4-1} (5x+1)' \)
\(=4(5x+1)^3 [(5x)'+(1)' ]\)
\(=4[(5x)^3+3(5x)^2(1)+3(5x)(1)^2+(1)^3 ](5+0) \quad car \; (a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 \)
\(=4(125x^3+75x^2+15x+1)(5) \)
\(f'(x)=20(125x^3+75x^2+15x+1) \)

\(6.(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-g'f}{g^2} \)

\(6.(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-g'f}{g^2} \)

Exemples
\(a) f(x)=\frac{2x+3}{x+2} \)
\(f'(x)=\frac{(2x+3)'(x+2)-(x+2)'(2x+3)}{(x+2)^2} \)
\(=\frac{[(2x)'+(3)'](x+2)-[(x)'+(2)' ](2x+3)}{(x^2+2×x×2+2^2 } \)
\( =\frac{(2+0)(x+2)-(1+0)(2x+3)}{x^2+4x+4} \)
\(=\frac{2(x+2)-1(2x+3)}{x^2+4x+4} \)
\(=\frac{2x+4-2x-3}{x^2+4x+4} \)
\(f'(x)=\frac{1}{x^2+4x+4} \)
\(b) f(x)=\frac{x^2+5}{x^3} \)
\(f'(x)=\frac{(x^2+5)' (x^3)-(x^3)' (x^2+5)}{(x^3)^2} \)
\(=\frac{[(x^2)'+(5)'] (x^3)-3x^{3-1} (x^2+5)}{x^6} \)
\(=\frac{(2x^{2-1}+0)(x^3)-3x^2 (x^2+5)}{x^6} \)
\(=\frac{(2x(x^3 )-3x^4-15x^2)}{x^6} \)
\(=\frac{(2x^4-3x^4-15x^2)}{x^6} \)
\(f'(x)=\frac{-x^4-15x^2}{x^6 } \)

\(7. (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(7. (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(8. (\sqrt{u})'=\frac{u'}{(2\sqrt{u}} \)

\(8. (\sqrt{u})'=\frac{u'}{(2\sqrt{u}} \)

Exemples:
\( a) f(x)=\sqrt{2x-1} \)
\(f'(x)=\frac{(2x-1)'}{2\sqrt{2x-1 }}\)
\(f'(x)=\frac{(2x)'-(1)'}{2\sqrt{2x-1}} \)
\( =\frac{(2-0)}{2\sqrt{2x-1}} \)
\(f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}} \)
\(b) f(x)=\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3}} \)
\(f'(x)=\frac{(\frac{x^2+2x+1}{2x+3})'}{2 \sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } } \)
\(=\frac{\frac{(x^2+2x+1)'(2x+3)-(2x+3)'(x^2+2x+1)}{(2x+3)^2}}{2 \sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{[(x^2)'+(2x)'+(1)' ](2x+3)-[(2x)'+(3)'](x^2+2x+1)}{(2x+3)^2} }{2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{((2x+2+0)(2x+3)-(2+0)(x^2+2x+1)}{(2x+3)^2}} {2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\( =\frac{\frac{(2x+2)(2x+3)-2(x^2+2x+1)}{(2x+3)^2 }} {2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{4x^2+6x+4x+6-2x^2-4x-2}{(2x+3)^2 }}{2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{(4-2) x^2+(6+4-4)x+6-2}{(2x+3)^2 }}{2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{2x^2+6x-4}{(2x+3)^2 }}{2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\( f'(x)=\frac{2x^2+6x-4}{2(2x+3)^2 \sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3}}}\)

\(9.(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}} } \)

\(9.(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}} } \)

Exemples
\( a) f(x)=\sqrt[3]{x} \)
Ici \(n=3\)
\(f'(x)=\frac{1}{3.\sqrt[3]{x^{3-1} } } \)
\(f'(x)=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }\)
\( b) f(x)=\sqrt[5]{x} \)
ici \(n=5\)
\(f'(x)=\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{5-1} } } \)
\(f'(x)=\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^4 } } \)

\(10.(\sqrt[n]{u})'=(u^{\frac{1}{n}})' \)

\(10.(\sqrt[n]{u})'=(u^{\frac{1}{n}})' \)

\(=\frac{1}{n} \; u'\; u^{\frac{1}{n}-1} \)
\( =\frac{1}{n} \; u' \; u^{\frac{1-n}{n} } \)
\(=\frac{1}{n} \; u' \; u^{\frac{-(n-1)}{n} } \)
\( =\frac{1}{n} \; u' \; \frac{1}{u^{\frac{n-1}{n}}} \)
\( =\frac{u'}{n \; u^{\frac{n-1}{n}}} \)
\( (\sqrt[n]{u})'=\frac{u'}{n \; \sqrt[n]{u^{n-1}}} \)

Exemple :
\(f(x)=\sqrt[3]{2x+3} \)
ici \(n=3\)
\(f'(x)=\frac{(2x+3)'}{3 \sqrt[3]{(2x+3)^{3-1} } }\)
\(=\frac{[(2x)'+(3)']}{3 \sqrt[3]{(2x+3)^2 }} \)
\( =\frac{2+0}{3 \sqrt[3]{(2x+3)^2}} \)
\(f'(x)=\frac{2}{3 \sqrt[3]{(2x+3)^2}} \)

4.Dérivée des fonctions circulaires

4.Dérivée des fonctions circulaires

a. sin

a. sin

\((sin\; ⁡x )'=cos⁡\; x \)
\((sin⁡ \; u)'=u' \; cos ⁡u \)
Exemples :
\(a) f(x)=sin⁡(2x+3) \)
\( f'(x)= (2x+3)' \; cos⁡(2x+3)\)
\( =[(2x)'+(3)' ] cos⁡(2x+3)\)
\( =(2+0) cos⁡(2x+3)\)
\(f'(x)=2cos⁡(2x+3) \)
\( b) f(x)=sin⁡(x^2+2x-1) \)
\( f'(x)=(x^2+2x-1)' cos⁡(x^2+2x-1)\)
\( =[(x^2)'+(2x)'-(1)' ] cos⁡(x^2+2x-1)\)
\( (2x+2-0) cos⁡(x^2+2x-1)\)
\(f'(x)=(2x+2) cos⁡(x^2+2x-1) \)

b. cos

b. cos

\((cos⁡ \;x)'=-sin⁡ \;x \)
\((cos \;⁡u)' =- u' sin\; ⁡u \)
Exemple :
\( f(x)=cos⁡(x^3-2x+2) \)
\(f'(x)=-(x^3-2x+2)' sin⁡(x^3-2x+2)\)
\( =-[(x^3)'-(2x)'+(2)'] sin⁡(x^3-2x+2)\)
\( =-(3x^2-2+0) sin⁡(x^3-2x+2)\)
\(f'(x)=-(3x^2-2) sin⁡(x^3-2x+2)\)

c. tan

c. tan

\((\tan⁡ {x})'=\frac{1}{\cos^2{x} } \)
\( (\tan⁡{u})'=\frac{u'}{\cos^2 {u} } \)
Exemples
\( a) f(x)=\tan⁡{(x^2-3)} \)
\(f'(x)=\frac{(x^2-3)'}{\cos^2 {(x^2-3)}} \)
\( =\frac{[(x^2)'-(3)']}{\cos^2{(x^2-3)}} \)
\(=\frac{2x-0}{\cos^2 {(x^2-3)}} \)
\( f'(x)=\frac{2x}{\cos^2{(x^2-3)}} \)
\( b) f(x)=\tan{⁡(\frac{x^2}{2x})} \)
\( f'(x)=\frac{(\frac{x^2}{2x})'}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})}} \)
\( =\frac{\frac{(x^2)'(2x)-(2x)' (x^2)}{(2x)^2 }}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})}} \)
\( =\frac{\frac{2x(2x)-2(x^2)}{4x^2 }}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})} } \)
\( =\frac{\frac{4x^2-2x^2}{4x^2} }{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})} } \)
\( =\frac{\frac{2x^2}{4x^2}}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})}} \)
\( =\frac{\frac{1}{2}}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})} } \)
\( f'(x)= \frac{1}{2 \cos^2 {(\frac{x^2}{2x})}} \)

d. cot

d. cot

\((\cot⁡{x})'=\frac{-1}{\sin^2{x}} \)
\((\cot⁡{u})'=\frac{-u'}{\sin^2{u}} \)
Exemple
\( f(x)=\cot⁡{(3x)}\)
\(f'(x)=\frac{-(3x)'}{\sin^2{(3x)}} \)
\(f'(x)=\frac{-3}{\sin^2{(3x)}} \)

e. sec

e. sec

\((\sec⁡{x})'=(\frac{1}{\cos{⁡x}})' \)
\(=\frac{(1)' \cos{⁡x}-(\cos⁡{x})' (1)}{\cos^2{x}} \)
\(=\frac{(0 × \cos{⁡x}-(-\sin⁡{x})}{\cos^2{x}}\)
\( (\sec⁡{x})'=\frac{\sin{⁡x}}{\cos^2{x}} \)
\((\sec⁡{u})'=(\frac{1}{\cos{⁡u}})' \)
\( =\frac{(1)'\cos⁡{u}-(\cos⁡{u})'(1)}{\cos^2{u}}\)
\( =\frac{0× \cos⁡{u}-(-u)'\sin⁡{u}}{(\cos^2 {u}) }\)
\((\sec⁡{u})'=\frac{u' \sin⁡{u}}{\cos^2 {u}} \)
Exemple
\( f(x)=\sec⁡{(2x+2)} \)
\( f'(x)=\frac{(2x+2)' \sin⁡{(2x+2)}}{\cos^2 {(2x+2)} } \)
\( f'(x)=\frac{2 \sin⁡{(2x+2)}}{cos^2 {(2x+2)} }\)

f. cosec

f. cosec

\( (cosec \; x)'=(\frac{1}{\sin{⁡x}})'\)
\(=\frac{(1)' \sin⁡{x}- (\sin⁡{x})'(1)}{\sin^2{x}} \)
\( =\frac{0 × \sin⁡{x}-\cos⁡{x}}{\sin^2{x}} \)
\((cosec \; x)'=\frac{-\cos⁡{x}}{\sin^2{x}} \)
\((cosec \; u)'=(\frac{1}{\sin⁡{u}})' \)
\(=\frac{(1)' \sin{⁡u}-(\sin{u})'(1)}{\sin^2{u}}\)
\( =\frac{0 × \sin⁡{u}- u' \cos{⁡u}}{\sin^2{u}}\)
\((cosec\; u)'=\frac{- u' \cos⁡{u}}{\sin^2{u}} \)
Exemple
\(f(x)=cosec \; (\frac{1}{x}) \)
\(f'(x)=\frac{(\frac{1}{x})' \cos⁡{(\frac{1}{x})}}{\sin^2 {(\frac{1}{x})} } \)
\( =\frac{\frac{(1)'(x)-(x)' (1)}{x^2 } \cos⁡(\frac{1}{x})}{\sin^2 {(\frac{1}{x})} }\)
\(=\frac{\frac{0×x-1×1}{x^2} \cos⁡(\frac{1}{x})}{\sin^2 {(\frac{1}{x})} } \)
\( f'(x)=\frac{\frac{-1}{x} \cos{⁡(\frac{1}{x})}}{\sin^2 {(\frac{1}{x}) }} \)

5.Dérivées des fonctions circulaires réciproques

5.Dérivées des fonctions circulaires réciproques

a)\( \arcsin \)

a)\( \arcsin \)

\((\arcsin⁡{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\((\arcsin⁡{u})'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\) , avec u une fonction en x
Exemple
\(f(x)=\arcsin⁡{(3x-1)} \)
\(f'(x)=\frac{(3x-1)'}{\sqrt{1-(3x-1)^2}} \)
\( =\frac{[(3x)'-(1)']}{\sqrt{1-(9x^2-2×3x+1)}} \quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)
\( =\frac{3-0}{\sqrt{1-9x^2+6x-1} }\)
\(f'(x)=\frac{3}{\sqrt{-9x^2+6x}} \)

\(b) \arccos \)

\(b) \arccos \)

\((\arccos⁡{x})'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( (\arccos⁡{u})'=\frac{-u'}{\sqrt{1-u^2}} \) , avec u une fonction en x
Exemple
\(f(x)=\arccos⁡{(x^2+1)} \)
\(f'(x)=\frac{-(x^2+1)')}{\sqrt{1-(x^2+1)^2 }} \)
\( =\frac{-[(x^2)'+(1)']}{\sqrt{1-(x^4+2x^2+1)}}\)
\(=\frac{-(2x+0)}{\sqrt{1-x^4-x^2-1}}\)
\( f'(x)=\frac{-2x}{\sqrt{-x^4-x^2} } \)

\( c) \arctan \)

\( c) \arctan \)

\((\arctan⁡{x})'=\frac{1}{1+x^2} \)
\((\arctan{u})'=\frac{u'}{1+u^2} \)
Exemple
\(f(x)=\arctan⁡{(x+1)} \)
\(f'(x)=\frac{(x+1)'}{1+(x+1)^2 } \)
\(=\frac{[(x)'+(1)']}{1+x^2+2x+1}\)
\( =\frac{1+0}{x^2+2x+2}\)
\( f'(x)=\frac{1}{x^2+2x+2} \)

\( d) arccot \)

\( d) arccot \)

\((arccot \;⁡x)'=\frac{-1}{1+x^2} \)
\((arccot \;u)'=\frac{-u'}{1+u^2} \)
Exemple
\(f(x)=arccot \;⁡ (x+1) \)
\(f'(x)=\frac{-(x+1)'}{1+(x+1)^2 } \)
\(=\frac{-[(x)'+(1)']}{1+x^2+2x+1}\)
\( =\frac{-(1+0)}{x^2+2x+2}\)
\( f'(x)=\frac{-1}{x^2+2x+2} \)

6.Dérivées des fonctions logarithmiques et exponentielles

6.Dérivées des fonctions logarithmiques et exponentielles

Exemples
\( a) f(x)=log_3⁡{(x^2+1)} \)
\( f'(x)=\frac{(x^2+1)'}{(x^2+1) \ln{⁡3}} \)
\( =\frac{[(x^2)'+(1)']}{(x^2+1) \ln⁡{3} }\)
\( =\frac{2x+0}{((x^2+1) \ln⁡{3} )}\)
\( f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1) \ln⁡{3} } \)

\(b) f(x)=\ln⁡{(x^2+3x-1)} \)
\(f'(x)=\frac{(x^2+3x-1)'}{x^2+3x-1} \)
\( =\frac{[(x^2)'+(3x)'-(1)']}{x^2+3x-1}\)
\( =\frac{2x+3-0}{x^2+3x-1}\)
\( f'(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x-1} \)

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